[PEMBAHASAN] Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 449
Thursday, January 10, 2019
SBMPTN mrupakan salah satu jalur masuk PTN dengan tes/ujian. Untuk memberikan wawasan serta agar sobat tahu macam soal HOTS yang ada di SBMPTN, yuk simak ulasan berikut seputar pembahasan soal SBMPTN matematika IPA tahun 2018 kode soal 449.
Sangat disarankan untuk membuka situs ini melalui pc/laptop, atau melalui gawai android dengan akses via google chroome.
Soal No.1
Pembahasan No.1
Jika periode fungsi $f(x)=2\cos(ax)+a$ adalah $\dfrac{\pi}{3}$, maka nilai minimum fungsi $f$ adalah ...
Periode fungsi $f$ di atas adalah $\dfrac{\pi}{3}$ maka $$\dfrac{2\pi}{a}=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow a=6$$
Oleh karena itu: $$f(x)=2\cos(6x)+6$$
Karena nilai minimum dari $\cos(6x)$ adalah $-1$ maka nilai minimum $f$ adalah $-2+6=4$
Soal No.2
Diketahui gradien garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan $P(a,b)$ adalah $-3$. Jika $P$ dicerminkan terhadap sumbu Y kemudian digeser 5 satuan ke atas dan 2 satuan ke kanan, maka gradien garis yang melalui $P'$ dan $O(0,0)$ adalah 2. Titik $P$ adalah ...
Pembahasan No.2Diketahui gradien garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan $P(a,b)$ adalah $-3$. Jika $P$ dicerminkan terhadap sumbu Y kemudian digeser 5 satuan ke atas dan 2 satuan ke kanan, maka gradien garis yang melalui $P'$ dan $O(0,0)$ adalah 2. Titik $P$ adalah ...
Gradien garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan $P(a,b)$ adalah $-3$ maka : $$\dfrac{b-0}{a-0}=-3\Rightarrow b=-3a$$ $P(a,b)$ dicerminkan terhadap sumbu Y akan menjadi $(-a,b)$ , kemudian $(-a,b)$ digeser 5 satuan ke atas dan 2 satuan ke kanan menjadi $P'(-a+2,b+5)$
Gradien garis yang melalui $P'(-a+2,b+5)$ dan $O(0,0)$ adalah 2 maka \begin{split}& \dfrac{b+5-0}{-a+2-0}=2\\\Rightarrow & b+5=-2a+4\end{split}
Karena $b=-3a$ maka persamaan di atas menjadi: $$-3a+5=-2a+4\Rightarrow a=1$$
Oleh karena itu $b=-3a=-3$ .
Jadi titik $P$ adalah $(1,-3)$
Soal No.3
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\sqrt{2}$ cm. Jika titik $P$ di tengah-tengah $AB$ dan titik $Q$ di tengah-tengah $BC$, maka jarak antara titik $H$ dengan garis $PQ$ adalah ... cm
Pembahasan No.3Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\sqrt{2}$ cm. Jika titik $P$ di tengah-tengah $AB$ dan titik $Q$ di tengah-tengah $BC$, maka jarak antara titik $H$ dengan garis $PQ$ adalah ... cm
 |
| Pict from : epsilonpositif.com |
$P$ dan $Q$ adalah titik tengah dari $AB$ dan $BC$ maka $RB$ akan menjadi $ \dfrac{1}{4}DB$ , dengan demikian, \begin{split}DR & =\dfrac{3}{4}DB\\& =\dfrac{3}{4}2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}& =3\end{split}
Jadi jarak antara titik $H$ dengan garis $PQ$ adalah : \begin{split}HR & =\sqrt{HD^2+DR^2}\\& =\sqrt{(2\sqrt{2})^2+3^2}\\& =\sqrt{17}\end{split}
Soal No.4
Pembahasan No.4
$\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{8}{\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-6x}}=\ldots$
\begin{split}& \lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{8}{\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-6x}}\\= & \dfrac{\lim\limits_{x \to\infty} 8}{\lim\limits_{x \to\infty} \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-6x}}\\= & \dfrac{8}{\dfrac{2-(-6)}{2\sqrt{1}}}\\= & \dfrac{8}{\dfrac{8}{2}}\\= & 2\end{split}
Soal No.5
Pembahasan No.5
Misalkan $a+3$ , $a-1$ , $2$ membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin adalah ...
$a+3$ , $a-1$ , $2$ membentuk barisan geometri maka berlaku \begin{split}& \dfrac{a-1}{a+3}=\dfrac{2}{a-1}\\\Rightarrow & (a-1)^2=2(a+3)\\\Rightarrow & a^2-2a+1=2a+6\\\Rightarrow & a^2-4a-5=0\\\Rightarrow & (a-5)(a+1)=0\\\Rightarrow & a=5 \vee a=-1\end{split}
Jika $a=5$ maka barisan geometri tersebut adalah $8$, $4$, $2$, $\dfrac{1}{2}$... dan jumlah 11 suku pertamanya merupakan bukan bilangan bulat dan tidak ada pilihan jawabannya.
Jika $a=-1$ maka barisan geometri tersebut adalah $2$ , $-2$ , $2$ , $-2$... dan jumlah 11 suku pertamanya adalah $S_{11}=\dfrac{2((-1)^2-1)}{-1-1}=2$
Titik potong antara garis $y=a$ dan kurva $y=ax^4$ didapatkan dengan cara mensubstitusikan kedua persamaan tersebut yaitu $ax^4=a \Rightarrow x=\pm 1$. Dengan demikian diperoleh ilustrasi daerah $R$ seperti di bawah ini,
volume benda padat yang didapat dengan memutar $R$ terhadap sumbu X adalah $\dfrac{40}{9}\pi$ maka : \begin{split}& \pi \int_{0}^1 (ax^4)^2\ dx+ \pi \int_1^2 a^2\ dx =\dfrac{40}{9}\pi\\\Rightarrow & \int_{0}^1 a^2x^8\ dx + \int_1^2 a^2\ dx = \dfrac{40}{9}\\\Rightarrow & \left[ \frac{a^2x^9}{9}\right]_0^1+ \left[ a^2x\right]_1^2 =\dfrac{40}{9}\\\Rightarrow & \frac{a^2}{9}+ a^2 = \dfrac{40}{9}\\\Rightarrow & a^2 + 9a^2 = 40\\\Rightarrow & 10a^2 = 40\\\Rightarrow & a^2 = 4\\\Rightarrow & a = \pm 2\end{split}
Terdapat 9 orang yang akan membentuk barisan, maka banyak barisan yang mungkin adalah $9!$. Misalkan orang-orang tersebut adalah objek, dan Ari dan Ira berdekatan. Dapat dimisalkan Ari dan Ira merupakan satu objek dengan 7 objek lainnya. Sehingga sekarang terdapat 8 objek yang membentuk barisan.
Dengan demikian banyak cara menyusun kedelapan objek tersebut adalah $8! \times 2$ (Dikalikan dua karena urutan yang mungkin bisa Ari kemudian Ira atau Ira dulu baru kemudian Ari).
Jadi banyak cara mereka semua berbaris dengan Ari dan Ira tidak berdampingan adalah \begin{split}9!-8!\times 2 & = 8! \times 9 - 8!\times 2\\& = (9-2)\times 8!\\& =7 \times 8!\end{split}
Lingkaran $x^2+y^2+Ax+2Ay+C=0$ memiliki panjang jari-jari 1 maka : $$\dfrac{A^2}{4}+{(2A)^2}{4}-C=1 \Rightarrow\dfrac{5A^2}{4}=C+1$$
Lingkaran$x^2+y^2+Ax+3Ay+C=0$ memiliki panjang jari-jari $\sqrt{6}$ maka : \begin{split}& \dfrac{A^2}{4}+\dfrac{(3A)^2}{4}-C=\sqrt{6}^2\\\Rightarrow & \dfrac{10A^2}{4}-C=6\\\Rightarrow & 2\left(\dfrac{5A^2}{4}\right)-C=6\\\Rightarrow & 2(C+1)-C=6\\\Rightarrow & 2C+2-C=6\\\Rightarrow & C=4\end{split}
Jika $a=5$ maka barisan geometri tersebut adalah $8$, $4$, $2$, $\dfrac{1}{2}$... dan jumlah 11 suku pertamanya merupakan bukan bilangan bulat dan tidak ada pilihan jawabannya.
Jika $a=-1$ maka barisan geometri tersebut adalah $2$ , $-2$ , $2$ , $-2$... dan jumlah 11 suku pertamanya adalah $S_{11}=\dfrac{2((-1)^2-1)}{-1-1}=2$
Soal No.6
Pembahasan No.6
Daerah $R$ dibatasi oleh $y=ax^4$ , $y=a$ , $x=2$ , dan garis sumbu X positif. Jika volume benda padat yang didapat dengan memutar $R$ terhadap sumbu X adalah $\dfrac{40}{9}\pi$, maka $a=\ldots$
Titik potong antara garis $y=a$ dan kurva $y=ax^4$ didapatkan dengan cara mensubstitusikan kedua persamaan tersebut yaitu $ax^4=a \Rightarrow x=\pm 1$. Dengan demikian diperoleh ilustrasi daerah $R$ seperti di bawah ini,
Soal No.7
Pembahasan No.7
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah ...
Terdapat 9 orang yang akan membentuk barisan, maka banyak barisan yang mungkin adalah $9!$. Misalkan orang-orang tersebut adalah objek, dan Ari dan Ira berdekatan. Dapat dimisalkan Ari dan Ira merupakan satu objek dengan 7 objek lainnya. Sehingga sekarang terdapat 8 objek yang membentuk barisan.
Dengan demikian banyak cara menyusun kedelapan objek tersebut adalah $8! \times 2$ (Dikalikan dua karena urutan yang mungkin bisa Ari kemudian Ira atau Ira dulu baru kemudian Ari).
Jadi banyak cara mereka semua berbaris dengan Ari dan Ira tidak berdampingan adalah \begin{split}9!-8!\times 2 & = 8! \times 9 - 8!\times 2\\& = (9-2)\times 8!\\& =7 \times 8!\end{split}
Soal No.8
Pembahasan No.8
Jika panjang jari-jari lingkaran $x^2+y^2+Ax+2Ay+C=0$ dan $x^2+y^2+Ax+3Ay+C=0$
berturut-turut adalah $1$ dan $\sqrt{6}$ maka nilai dari $C$ adalah ...
berturut-turut adalah $1$ dan $\sqrt{6}$ maka nilai dari $C$ adalah ...
Lingkaran$x^2+y^2+Ax+3Ay+C=0$ memiliki panjang jari-jari $\sqrt{6}$ maka : \begin{split}& \dfrac{A^2}{4}+\dfrac{(3A)^2}{4}-C=\sqrt{6}^2\\\Rightarrow & \dfrac{10A^2}{4}-C=6\\\Rightarrow & 2\left(\dfrac{5A^2}{4}\right)-C=6\\\Rightarrow & 2(C+1)-C=6\\\Rightarrow & 2C+2-C=6\\\Rightarrow & C=4\end{split}
Soal No.9
Pembahasan No.9
Sisa pembagian $p(x)=x^3-ax^2-2bx-4a-4$ oleh $x^2+1$ adalah $-5a+2$ . Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$ maka $4ab=\ldots$
Dengan menggunakan teknik pembagian Horner Kino diperoleh :
Dari diagram di atas sisa pembagiannya adalah : $$(-2b-1)x+(-3a-4)=0x+(-5a+2)$$
Persamaan di atas berarti
$-2b-1=0 \Rightarrow b=-\dfrac{1}{2}$
dan $-3a-4=-5a+2 \Rightarrow a=3$ .
Jadi $4ab=4\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 3 = -6$
 |
| Pict from : epsilon positif |
Persamaan di atas berarti
$-2b-1=0 \Rightarrow b=-\dfrac{1}{2}$
dan $-3a-4=-5a+2 \Rightarrow a=3$ .
Jadi $4ab=4\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot 3 = -6$
Soal No.10
Pembahasan No.10
Jika garis singgung kurva $y=-2x^3$ di titik $P(a,b)$ memotong sumbu Y di titik$Q(0,4)$ , maka $a+b$ adalah ...
Kurva $y=-2x^3$ melalui titik $P(a,b)$ maka $b=-2a^3$ . Gradien garis singgung di titik $x=a$ adalah $m=y'=-6x^2=-6a^2$ , dengan demikian persamaan garis singgung di titik $P(a,b)$ adalah : $$y-b=-6a^2(x-a)$$
Karena garis singgung tersebut melalui $Q(0,4)$ maka : $$4-b=-6a^2(0-a)$$
Substitusi $b=-2a^3$ ke persamaan di atas maka \begin{split}& 4+2a^3=6a^3\\\Rightarrow & 4a^3=4\\\Rightarrow & a=1\end{split}
Oleh karena itu $b=-2a^3=-2$.
Jadi $a+b=1-2=-1$
Barisan $(a_n)$ memiliki suku pertama 5 dengan beda 3 maka $a_n=3n+2$ dan A={5,8,11,14,17,20,23,...,302}
Barisan $(b_n)$ memiliki suku pertama 3 dengan beda 4 maka $b_n=4n-1$ dan B={3,7,11,15,19,23,...,399}
Dari kedua himpunan di atas diperoleh $A\cap B=${11,23,...}.
Rumus untuk barisan pada himpunan $A\cap B$ adalah $12n-1$ . Karena nilai $12n-1$ tidak mungkin lebih dari 302 maka : $$12n-1 < 302\Rightarrow n < 25.25$$
Jadi banyaknya anggota $A\cap B$ adalah 25.
\begin{split}& 2-2\cos^2x \leq \sqrt{3}\sin x\\\Rightarrow & 2(1-\cos^2x)\leq \sqrt{3}\sin x\\\Rightarrow & 2\sin^2x \leq\sqrt{3}\sin x\\\Rightarrow & 2\sin^2x -\sqrt{3}\sin x \leq 0\\\Rightarrow & \sin x(2\sin x -\sqrt{3}) \leq 0\end{split}
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $\sin x = 0$ dan $2\sin x - \sqrt{3}=0$
Jika $\sin x = 0$ maka $x=0$ atau $x=\pi$ atau $x=2\pi$
Jika $2\sin x - \sqrt{3}=0\Rightarrow \sin x =\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ maka $x=\dfrac{\pi}{6}$ atau $x=\dfrac{5\pi}{6}$.
Buat garis bilangan dari $0$ sampai $2\pi$ kemudian uji titik $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Dari ilustrasi di atas didapat penyelesaian $\left[ 0,\dfrac{\pi}{6} \right] \cup\left[ \dfrac{5\pi}{6} , \pi\right]$.
Dengan demikian $a=0$ , $b=\dfrac{\pi}{6}$,$c=\dfrac{5\pi}{6}$, dan $d=\pi$.
Jadi : \begin{split}& a+b+c+d\\= & 0+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\pi\\= & 2\pi\end{split}
Karena garis singgung tersebut melalui $Q(0,4)$ maka : $$4-b=-6a^2(0-a)$$
Substitusi $b=-2a^3$ ke persamaan di atas maka \begin{split}& 4+2a^3=6a^3\\\Rightarrow & 4a^3=4\\\Rightarrow & a=1\end{split}
Oleh karena itu $b=-2a^3=-2$.
Jadi $a+b=1-2=-1$
Soal No.11
Pembahasan No.11
$\displaystyle\int\limits_{1/8}^{1/3}\dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx=\ldots$
Misalkan $u=1+\dfrac{1}{x}$ maka $du = -\dfrac{1}{x^2}\ dx$. Kalikan kedua ruasnya dengan $-3$ diperoleh : $$-3\ du =\dfrac{3}{x^2}\ dx$$
Jika $x=1/8$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/8}=9$
Jika $x=1/3$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/3}=4$
Dengan demikian : \begin{split}& \int_{1/8}^{1/3} \dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx\\= & \int_{x=1/8}^{x=1/3}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\dfrac{3}{x^2}\ dx\\= & \int_{u=9}^{u=4}\sqrt{u}\cdot -3\ du\\= & -3\int_{9}^{4} u^{1/2}\ du\\= & -3\left[\dfrac{2}{3} u^{3/2}\right]_{9}^{4}\\= & -\left[2 u \sqrt{u}\right]_{9}^{4}\\= & -\left[(2\cdot 4\cdot\sqrt{4})-(2\cdot 9\cdot\sqrt{9})\right]\\= & -\left[16-54\right]\\= & -\left[-38\right]\\= & 38\end{split}
Jika $x=1/8$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/8}=9$
Jika $x=1/3$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/3}=4$
Dengan demikian : \begin{split}& \int_{1/8}^{1/3} \dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx\\= & \int_{x=1/8}^{x=1/3}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\dfrac{3}{x^2}\ dx\\= & \int_{u=9}^{u=4}\sqrt{u}\cdot -3\ du\\= & -3\int_{9}^{4} u^{1/2}\ du\\= & -3\left[\dfrac{2}{3} u^{3/2}\right]_{9}^{4}\\= & -\left[2 u \sqrt{u}\right]_{9}^{4}\\= & -\left[(2\cdot 4\cdot\sqrt{4})-(2\cdot 9\cdot\sqrt{9})\right]\\= & -\left[16-54\right]\\= & -\left[-38\right]\\= & 38\end{split}
Soal No.12
Pembahasan No.12
Diketahui $(a_n)$ dan $(b_n)$ adalah dua barisan aritmetika dengan $a_1=5$ , $a_2=8$,$b_1=3$,dan $b_2=7$.Jika $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{100}\}$dan $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_{100}\}$ ,maka banyaknya anggota $A\cap B$ adalah ...
Barisan $(a_n)$ memiliki suku pertama 5 dengan beda 3 maka $a_n=3n+2$ dan A={5,8,11,14,17,20,23,...,302}
Barisan $(b_n)$ memiliki suku pertama 3 dengan beda 4 maka $b_n=4n-1$ dan B={3,7,11,15,19,23,...,399}
Dari kedua himpunan di atas diperoleh $A\cap B=${11,23,...}.
Rumus untuk barisan pada himpunan $A\cap B$ adalah $12n-1$ . Karena nilai $12n-1$ tidak mungkin lebih dari 302 maka : $$12n-1 < 302\Rightarrow n < 25.25$$
Jadi banyaknya anggota $A\cap B$ adalah 25.
Soal No.13
Pembahasan No.13
Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $[0,2\pi]$ yang memenuhi $2-2\cos^2x \leq \sqrt{3}\sin x$ berbentuk $[a,b]\cup [c,d]$. Nilai $a+b+c+d$ adalah ...
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $\sin x = 0$ dan $2\sin x - \sqrt{3}=0$
Jika $\sin x = 0$ maka $x=0$ atau $x=\pi$ atau $x=2\pi$
Jika $2\sin x - \sqrt{3}=0\Rightarrow \sin x =\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ maka $x=\dfrac{\pi}{6}$ atau $x=\dfrac{5\pi}{6}$.
Buat garis bilangan dari $0$ sampai $2\pi$ kemudian uji titik $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Dengan demikian $a=0$ , $b=\dfrac{\pi}{6}$,$c=\dfrac{5\pi}{6}$, dan $d=\pi$.
Jadi : \begin{split}& a+b+c+d\\= & 0+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\pi\\= & 2\pi\end{split}
Soal No.14
Pembahasan No.14
Jika $y=2^{3x^2+cx-1}$ dan $y=4^{x^2-\frac{c}{2}}$ bersinggungan, maka $c^2+c=\ldots$
\begin{split}& 2^{3x^2+cx-1} = 2^{2x^2-c}\\\Rightarrow & 3x^2+cx-1=2x^2-c\\\Rightarrow & x^2+cx-1+c=0\end{split}
Karena kedua kurvanya bersinggungan maka Diskriminan persamaan kuadrat di atas akan sama dengan 0 yaitu : \begin{split}& c^2-4(-1+c)=0\\\Rightarrow & c^2-4c+4=0\\\Rightarrow & (c-2)(c-2)=0\\\Rightarrow & c=2\end{split}
Jadi $c^2+c=4+2=6$
Karena kedua kurvanya bersinggungan maka Diskriminan persamaan kuadrat di atas akan sama dengan 0 yaitu : \begin{split}& c^2-4(-1+c)=0\\\Rightarrow & c^2-4c+4=0\\\Rightarrow & (c-2)(c-2)=0\\\Rightarrow & c=2\end{split}
Jadi $c^2+c=4+2=6$
Soal No.15
Pembahasan No.15
Diketahui dua lingkaran $x^2+y^2=2$ dan $x^2+y^2=4$ . Garis $l_1$ menyinggung lingkaran pertama di titik $(1,-1)$. Garis $l_2$ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $l_1$ . Titik potong garis $l_1$ dan $l_2$ adalah ...
Persamaan garis $l_1$ adalah $1x+(-1)y=2$ atau $x-y=2$ dengan gradien $m_1=1$ . $l_2$ tegak lurus $l_1$ maka gradien $l_2$ menjadi $m_2=-1$ .
Dengan demikian dapat dimisalkan persamaan $l_2$ adalah
$y=-x+c$. Substitusikan persamaan tersebut ke persamaan lingkaran
$x^2+y^2=4$
diperoleh : \begin{split}& x^2+(-x+c)^2=4\\\Rightarrow & x^2+x^2-2cx+c^2=4\\\Rightarrow & 2x^2-2cx+c^2-4=0\\\end{split}
$l_2$ menyinggung lingkaran maka Diskriminan persamaan di atas sama dengan 0 yaitu : \begin{split}& (-2c)^2-4\cdot 2\cdot(c^2-4)=0\\\Rightarrow & 4c^2-8c^2+32=0\\\Rightarrow & 4c^2=32\\\Rightarrow & c^2=8\\\Rightarrow & c=\pm 2\sqrt{2}\end{split}
Jika $c=2\sqrt{2}$ maka persamaan $l_2$ menjadi $y=-x+2\sqrt{2}$ dan titik potongnya dengan $l_2$ diperoleh dengan cara mensubstitusikannya ke persamaan $l_1$ yakni : \begin{split}& x-y=2\\\Rightarrow & x-(-x+2\sqrt{2})=2\\\Rightarrow & x+x-2\sqrt{2}=2\\\Rightarrow & 2x=2+2\sqrt{2}\\\Rightarrow & x=1+\sqrt{2}\end{split}
Sehingga,\begin{split}y & =-x+2\sqrt{2}\\& =-(1+\sqrt{2})+2\sqrt{2}\\& =-1+\sqrt{2}\\& =\sqrt{2}-1\end{split}
Jadi titik potong antara $l_1$ dan $l_2$ adalah $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$
Dengan demikian dapat dimisalkan persamaan $l_2$ adalah
$y=-x+c$. Substitusikan persamaan tersebut ke persamaan lingkaran
$x^2+y^2=4$
diperoleh : \begin{split}& x^2+(-x+c)^2=4\\\Rightarrow & x^2+x^2-2cx+c^2=4\\\Rightarrow & 2x^2-2cx+c^2-4=0\\\end{split}
$l_2$ menyinggung lingkaran maka Diskriminan persamaan di atas sama dengan 0 yaitu : \begin{split}& (-2c)^2-4\cdot 2\cdot(c^2-4)=0\\\Rightarrow & 4c^2-8c^2+32=0\\\Rightarrow & 4c^2=32\\\Rightarrow & c^2=8\\\Rightarrow & c=\pm 2\sqrt{2}\end{split}
Jika $c=2\sqrt{2}$ maka persamaan $l_2$ menjadi $y=-x+2\sqrt{2}$ dan titik potongnya dengan $l_2$ diperoleh dengan cara mensubstitusikannya ke persamaan $l_1$ yakni : \begin{split}& x-y=2\\\Rightarrow & x-(-x+2\sqrt{2})=2\\\Rightarrow & x+x-2\sqrt{2}=2\\\Rightarrow & 2x=2+2\sqrt{2}\\\Rightarrow & x=1+\sqrt{2}\end{split}
Sehingga,\begin{split}y & =-x+2\sqrt{2}\\& =-(1+\sqrt{2})+2\sqrt{2}\\& =-1+\sqrt{2}\\& =\sqrt{2}-1\end{split}
Jadi titik potong antara $l_1$ dan $l_2$ adalah $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$