[PEMBAHASAN] Soal Matdas SBMPTN 2018 Kode 550
Sunday, January 13, 2019
Disarankan membuka situs ini melalui laptop/pc untuk kenyamanan dalam menjelajah, Anda juga dapat mengakses situs ini melalui chroome yang ada pada perangkat Android/IOS karena situs ini berisi script latex mathjax.
Soal No.46
Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi $\left( ^2\!\log\dfrac{1}{3x-1}\right)^2=9$ maka nilai $x_1+x_2$ adalah ...
Pembahasan No.46
\begin{split}& \left( ^2\!\log \dfrac{1}{3x-1} \right)^2=9\\\Rightarrow & ^2\!\log\dfrac{1}{3x-1} = 3 \vee ^2\!\log \dfrac{1}{3x-1} = -3\\\Rightarrow & \dfrac{1}{3x-1} = 2^3 \vee \dfrac{1}{3x-1} = 2^{-3}\\\Rightarrow & \dfrac{1}{3x-1} = 8 \vee \dfrac{1}{3x-1} = \dfrac{1}{8}\\\Rightarrow & 3x-1=\dfrac{1}{8} \vee 3x-1= 8\\\Rightarrow & 3x=\dfrac{9}{8} \vee 3x = 9\\\Rightarrow & x=\dfrac{3}{8} \vee x = 3\end{split}
Jadi $x_1+x_2=\dfrac{3}{8}+3=\dfrac{27}{8}$
Soal No.47
Jika $A=\begin{pmatrix} a& 1 \\ b & 2\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , dan $AB=\begin{pmatrix} 10 & a \\ 14 & b\end{pmatrix}$ maka nilai $ab$ adalah ...
Pembahasan No.47
\begin{split}& AB=\begin{pmatrix} 10 & a \\ 14 & b\end{pmatrix}\\\Rightarrow &\begin{pmatrix} a & 1 \\ b & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & a \\ 14& b\end{pmatrix}\\\Rightarrow &\begin{pmatrix} a^2+1 & a \\ ab+2 & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & a \\ 14& b\end{pmatrix}\end{split}
Dari persamaan matriks di atas diperoleh $ab+2=14\Rightarrow ab=12$
Soal No.48
Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $AB=\sqrt{15}$ cm dan $AD=\sqrt{5}$ cm. Jika $E$ merupakan titik potong diagonal persegi panjang tersebut, maka besar $\angle BEC$ adalah ...
Pembahasan No.48
Misalkan besar $\angle BEC= \alpha$ seperti ilustrasi di bawah ini
Panjang BE sama dengan panjang CE yaitu setengah diagonalnya \begin{split}BE=CE= & \dfrac{1}{2}\sqrt{(\sqrt{15})^2+(\sqrt{5})^2}\\= & \dfrac{1}{2} \sqrt{20}\\= &\sqrt{5}\end{split}
Karena $BE=CE=BC=\sqrt{5}$
maka $BEC$ adalah segitiga sama sisi dan besar sudutnya 60°
Soal No.49
Sebelas siswa mengikuti suatu tes dan median nilai tes mereka adalah 91. Jika sudah diketahui tiga siswa memperoleh nilai 100, satu siswa memperoleh nilai 96, tiga siswa memperoleh nilai 90, serta dua siswa memperoleh nilai 86, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah ...
Pembahasan No.49
Jika nilai kesembilan siswa tersebut diurutkan maka urutan nilainya menjadi 86, 86, 90, 90, 90, 96, 100, 100, 100 Karena mediannya adalah 91 maka nilai pada urutan keenam adalah 91, sehingga urutan nilai tersebut adalah 86, 86, 90, 90, 90, 91, 96, 100, 100, 100
Pada urutan nilai di atas nilai 91 sudah ada pada urutan keenam, dengan demikian nilai yang satunya lagi harus lebih dari atau sama dengan 91. Satu-satunya yang paling mungkin adalah 93.Jadi dua nilai yang lain adalah 93 dan 91
Soal No.50
Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah ...
Pembahasan No.50
Pertidaksamaan tersebut dapat juga ditulis menjadi $$x \geq \sqrt{6-x}$$ Ruas kanan pertidaksamaan diatas merupakan bentuk akar yang selalu tidak negatif dengan syarat $$6-x \geq 0 \Rightarrow x\leq 6$$
Karena ruas kanan tidak mungkin negatif maka ruas kiri yang lebih dari atau sama dengan ruas kanan juga harus selalu lebih dari nol yaitu $$x \geq 0$$
Dengan mengkuadratkan kedua ruas diperoleh \begin{split}& x^2 \geq 6-x\\\Rightarrow & x^2+x-6 \geq 0\\\Rightarrow & (x+3)(x-2)\geq 0\\\Rightarrow & (x+3)(x-2)\geq 0\\\Rightarrow & x \leq -3 \vee x \geq 2\end{split}
Dengan mengilustrasikan penyelesaian dari pertidaksamaan dan syarat-syaratnya penyelesaiannya di bawah ini
 |
| Pict from : epsilonpositif.com |
Diperoleh penyelesaiannya adalah $\{x| 2 \leq x \leq 6\}$
Soal No.51
Diketahui $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real positif dengan $ab > 1$ . Jika $x+ay=c$ , $bx+y=2c$ , dan $x < y$ , maka ...
Pembahasan No.51Diketahui $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real positif dengan $ab > 1$ . Jika $x+ay=c$ , $bx+y=2c$ , dan $x < y$ , maka ...
Misalkan $x+ay=c$ adalah persamaan (1) dan $bx+y=2c$ adalah persamaan (2)
Kalikan persamaan (1) dengan $b$ diperoleh sistem \begin{split}& bx+aby=bc\\& bx+y=2c\end{split}
Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh :
$aby-y=bc-2c\Rightarrow y=\dfrac{bc-2c}{ab-1}$
Kalikan persamaan (2) dengan $a$ diperoleh sistem \begin{split}& x+ay=c\\& abx+ay=2ac\end{split}
Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh
$x-abx=c-2ac\Rightarrow x=\dfrac{2ac-c}{ab-1}$
Karena $x < y$ maka $$\dfrac{2ac-c}{ab-1} < \dfrac{bc-2c}{ab-1}$$ $ab > 1$ maka penyebut ruas kiri dan kanan pasti positif, sehingga $$2ac-c < bc-2c$$ $c$ bilangan real positif maka $$2a-1 < b-2\Rightarrow 2a < b - 1$$
Kalikan persamaan (1) dengan $b$ diperoleh sistem \begin{split}& bx+aby=bc\\& bx+y=2c\end{split}
Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh :
$aby-y=bc-2c\Rightarrow y=\dfrac{bc-2c}{ab-1}$
Kalikan persamaan (2) dengan $a$ diperoleh sistem \begin{split}& x+ay=c\\& abx+ay=2ac\end{split}
Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh
$x-abx=c-2ac\Rightarrow x=\dfrac{2ac-c}{ab-1}$
Karena $x < y$ maka $$\dfrac{2ac-c}{ab-1} < \dfrac{bc-2c}{ab-1}$$ $ab > 1$ maka penyebut ruas kiri dan kanan pasti positif, sehingga $$2ac-c < bc-2c$$ $c$ bilangan real positif maka $$2a-1 < b-2\Rightarrow 2a < b - 1$$
Soal No.52
Diketahui A={9,7,6,5,4,3,2,1}. Lima anggota A diambil secara acak. Peluang terambilnya 5 anggota berjumlah genap adalah ...
Pembahasan No.52Diketahui A={9,7,6,5,4,3,2,1}. Lima anggota A diambil secara acak. Peluang terambilnya 5 anggota berjumlah genap adalah ...
Banyak cara mengambil 5 anggota dari 8 anggota A di atas adalah 8C5 = 56.
A terdiri dari 3 angka genap dan 5 angka ganjil. Jika diambil 5 anggota dengan jumlah genap maka kemungkinannya adalah :
-3 angka genap dan 2 angka ganjil
-1 angka genap dan 4 angka ganjil
Banyak cara mengambil 3 angka genap dan 2 angka ganjil adalah 3C3×5C3=1×10=10.
Sedangkan banyak cara mengambil 1 angka genap dan 4 angka ganjil adalah 3C1×5C4=3×5=15.
Dengan demikian banyak cara mengambil 5 angka dengan jumlah genap sebanyak 10+15=25.
Jadi peluang terambilnya 5 anggota berjumlah genap adalah 25/56
A terdiri dari 3 angka genap dan 5 angka ganjil. Jika diambil 5 anggota dengan jumlah genap maka kemungkinannya adalah :
-3 angka genap dan 2 angka ganjil
-1 angka genap dan 4 angka ganjil
Banyak cara mengambil 3 angka genap dan 2 angka ganjil adalah 3C3×5C3=1×10=10.
Sedangkan banyak cara mengambil 1 angka genap dan 4 angka ganjil adalah 3C1×5C4=3×5=15.
Dengan demikian banyak cara mengambil 5 angka dengan jumlah genap sebanyak 10+15=25.
Jadi peluang terambilnya 5 anggota berjumlah genap adalah 25/56
Soal No.53
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku. Jika hasil kali tiga suku pertama adalah $-27$ dan jumlah tiga suku terakhirnya adalah $-\dfrac{9}{4}$ , maka suku ketiga barisan geometri tersebut adalah...
Pembahasan No.53Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku. Jika hasil kali tiga suku pertama adalah $-27$ dan jumlah tiga suku terakhirnya adalah $-\dfrac{9}{4}$ , maka suku ketiga barisan geometri tersebut adalah...
Misalkan empat suku barisan geometri tersebut adalah $a$, $ar$, $ar^2$ dan $ar^3$ .
Hasil kali tiga suku pertama adalah $-27$ maka\begin{split}& a\cdot ar \cdot ar^2 = -27\\\Rightarrow & (ar)^3=-27\\\Rightarrow & ar=-3\end{split}
jumlah tiga suku terakhirnya adalah $-\dfrac{9}{4}$ maka\begin{split}& ar + ar^2 \cdot ar^3 = -\dfrac{9}{4}\\\Rightarrow & ar + ar\cdot r+ ar\cdot r^2 = -\dfrac{9}{4}\\\Rightarrow & -3 - 3r -3r^2= -\dfrac{9}{4}\\\Rightarrow & r^2 + r + 1=\dfrac{3}{4}\\\Rightarrow & 4r^2 + 4r + 4= 3\\\Rightarrow & 4r^2 + 4r + 1=0\\\Rightarrow & (2r+1)^2= 0\\\Rightarrow & r=-\dfrac{1}{2}\end{split}
Jadi suku ketiga barisan geometri tersebut adalah $ar^2=ar\cdot r=-3 \cdot (-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}$
Soal No.54
Pembahasan No.54
Jika grafik parabola $f(x)=ax^2+bx+c$ memotong sumbu Y pada titik $(0,4)$ ,serta memotong garis $y=x-2$ di titik $x=1$ dan $x=6$ ,maka koordinat titik puncak parabola tersebut adalah ...
grafik parabola memotong sumbu Y pada titik $(0,4)$ maka $$f(0)=c=4$$
Substitusikan persamaan garis dan parabola diperoleh \begin{split}& ax^2+bx+4 = x-2\\\Rightarrow & ax^2+(b-1)x+6 = 0\end{split}
Karena titik potongnya di $x=1$ dan $x=6$
maka \begin{split}& x_1\cdot x_2 =\dfrac{6}{a}\\\Rightarrow & 1\cdot 6 =\dfrac{6}{a}\\\Rightarrow & a=1\end{split}dan\begin{split}& x_1+ x_2 = -\dfrac{b-1}{a}\\\Rightarrow & 1+ 6 = -\dfrac{b-1}{1}\\\Rightarrow & b=-6\end{split}
Dengan demikian $$f(x)=x^2-6x+4$$ Jika puncaknya $(x_p,y_p)$
maka $x_p=-\dfrac{-6}{2}=3$ dan
$y_p=3^3-6\cdot 3+4=-5$ .
maka $x_p=-\dfrac{-6}{2}=3$ dan
$y_p=3^3-6\cdot 3+4=-5$ .
Jadi titik puncaknya adalah $(3,-5)$
Soal No.55
Jika semua akar dari persamaan $x^2-ax+b(b+1)=0$ merupakan bilangan prima untuk suatu bilangan positif $a$ dan $b$ , maka $a+b$ adalah ...
Pembahasan No.55
Misalkan kedua bilangan prima yang menjadi akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah $x_1$ dan $x_2$ maka $$x_1\cdot x_2=b(b+1)$$
Perhatikan bahwa perkalian $x_1$ dan $x_2$ juga merupakan perkalian antara dua bilangan bulat dengan selisih 1 ($b$ dan $b+1$) . Dua bilangan prima yang mungkin dengan selisish 1 hanyalah 2 dan 3.
Oleh karena itu $b$ dan $b+1$ berturut-turut adalah $2$ dan $3$ . Sehingga $x_1=2$ dan $x_2=3$ .
Dengan menggunakan rumus jumlah akar diperoleh :
$x_1+x_2=a \Rightarrow 2+3=a \Rightarrow a=5$.
Dengan menggunakan rumus jumlah akar diperoleh :
$x_1+x_2=a \Rightarrow 2+3=a \Rightarrow a=5$.
Jadi $a+b=5+2=7$
Soal No.56
Jika $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ , maka himpunan penyelesaian $1 \leq f(x)\leq 6$ adalah ...
Pembahasan No.56
\begin{split}& (f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}\\\Rightarrow & f(g(x))=\dfrac{2x-1}{x-1}\\\Rightarrow & f\left( \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \right)=\dfrac{2x-1}{x-1}\end{split}Misalkan $y=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ ,
kuadratkan kedua ruasnya maka : \begin{split}& y^2=\dfrac{1}{x-1}\\\Rightarrow & x-1=\dfrac{1}{y^2}\\\Rightarrow & x=\dfrac{1}{y^2}+1\end{split}
Dengan demikian,
$f\left( \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \right)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ dapat ditulis menjadi : \begin{split}& f(y)=\dfrac{2\left( \dfrac{1}{y^2}+1 \right)-1}{\left( \dfrac{1}{y^2}+1\right)-1}\\\Rightarrow & f(y)=\dfrac{\dfrac{2}{y^2}+2-1}{\dfrac{1}{y^2}}\\\Rightarrow & f(y)=\dfrac{\dfrac{2}{y^2}+1}{\dfrac{1}{y^2}}\times \dfrac{y^2}{y^2}\\\Rightarrow & f(y)=2+y^2\end{split}
Sehingga $f(x)=2+x^2$ .
\begin{split}& 1 \leq f(x) \leq 6\\\Rightarrow & 1 \leq 2+x^2\leq 6\\\Rightarrow & -1 \leq x^2\leq 4\\\Rightarrow & x^2 \leq 4\\\Rightarrow & x^2-4 \leq 0\\\Rightarrow & (x+2)(x-2)\leq 0\\\Rightarrow & -2 \leq x \leq 2\end{split}
kuadratkan kedua ruasnya maka : \begin{split}& y^2=\dfrac{1}{x-1}\\\Rightarrow & x-1=\dfrac{1}{y^2}\\\Rightarrow & x=\dfrac{1}{y^2}+1\end{split}
Dengan demikian,
$f\left( \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \right)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ dapat ditulis menjadi : \begin{split}& f(y)=\dfrac{2\left( \dfrac{1}{y^2}+1 \right)-1}{\left( \dfrac{1}{y^2}+1\right)-1}\\\Rightarrow & f(y)=\dfrac{\dfrac{2}{y^2}+2-1}{\dfrac{1}{y^2}}\\\Rightarrow & f(y)=\dfrac{\dfrac{2}{y^2}+1}{\dfrac{1}{y^2}}\times \dfrac{y^2}{y^2}\\\Rightarrow & f(y)=2+y^2\end{split}
Sehingga $f(x)=2+x^2$ .
\begin{split}& 1 \leq f(x) \leq 6\\\Rightarrow & 1 \leq 2+x^2\leq 6\\\Rightarrow & -1 \leq x^2\leq 4\\\Rightarrow & x^2 \leq 4\\\Rightarrow & x^2-4 \leq 0\\\Rightarrow & (x+2)(x-2)\leq 0\\\Rightarrow & -2 \leq x \leq 2\end{split}
Soal No.57
Diketahui $f(g(x))=x^2-6x$ untuk $x\leq 0$ dan $g(x+3)=x$ untuk semua bilangan real $x$ . Jika $f^{-1}$ ada, maka $(g \circ f^{-1})(0)$ adalah ...
Pembahasan No.57
Ganti $x$ dengan $x-3$ pada persamaan $g(x+3)=x$
didapatkan $g(x)=x-3$
Misalkan $f^{-1}(0)=a$
maka $f(a)=0$
Diketahui pula $f(g(x))=x^2-6x$
Dari dua persamaan di atas $g(x)=a$ dan $x^2-6x=0$ \begin{split}& x^2-6x=0\\\Rightarrow & x(x-6)=0\\\Rightarrow & x=0 \vee x=6\end{split}
Karena $x \leq 0$ maka $x=0$ . Substitusikan $x=0$ ke persamaan $g(x)=a$ diperoleh $x-3=a\Rightarrow a=-3$ .
Dengan demikian $f^{-1}(0)=-3$ .
Jadi\begin{split}(g \circ f^{-1})(0) & =g(f^{-1}(0))\\& =g(-3)\\& =-3-3\\& =-6\end{split}
didapatkan $g(x)=x-3$
Misalkan $f^{-1}(0)=a$
maka $f(a)=0$
Diketahui pula $f(g(x))=x^2-6x$
Dari dua persamaan di atas $g(x)=a$ dan $x^2-6x=0$ \begin{split}& x^2-6x=0\\\Rightarrow & x(x-6)=0\\\Rightarrow & x=0 \vee x=6\end{split}
Karena $x \leq 0$ maka $x=0$ . Substitusikan $x=0$ ke persamaan $g(x)=a$ diperoleh $x-3=a\Rightarrow a=-3$ .
Dengan demikian $f^{-1}(0)=-3$ .
Jadi\begin{split}(g \circ f^{-1})(0) & =g(f^{-1}(0))\\& =g(-3)\\& =-3-3\\& =-6\end{split}
Soal No.58
$\displaystyle\int\sqrt{x^4+\dfrac{1}{x^4}+2}\ dx=\ldots$
Pembahasan No.58
\begin{split}& \int \sqrt{x^4+\dfrac{1}{x^4}+2}\ dx\\= & \int \sqrt{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2}\ dx\\= & \int x^2+\dfrac{1}{x^2}\ dx\\= & \int x^2+x^{-2}\ dx\\= & \dfrac{1}{3}x^3-x^{-1}+C\\= & \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{x}+C\end{split}
Soal No.59
Diketahui $f(x)=x^2-ax+2$ dan $g(x)=ax^2+x-1$ dengan $f'(1)+g'(1)=5$ . Jika $h(x)=f(x)g(x)$ , maka $h'(1)$ adalah ...
Pembahasan No.59
$f'(x)=2x-a$ dan $g'(x)=2ax+1$
Karena $f'(1)+g'(1)=5$ maka \begin{split}& (2-a)+(2a+1)=5\\\Rightarrow & a+3=5\\\Rightarrow & a=2\end{split}
Dengan demikian,
$f(1)=1^2-2\cdot 1+2=1$
$g(1)=2\cdot 1^2+1-1=2$
$f'(1)=2\cdot 1-2=0$
$g'(1)=2\cdot 2\cdot 1+1=5$
Jadi $h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ dan \begin{split}h'(1) & =f'(1)g(1)+f(1)g'(1)\\& =0\cdot 2+1\cdot 5\\& =5\end{split}
Karena $f'(1)+g'(1)=5$ maka \begin{split}& (2-a)+(2a+1)=5\\\Rightarrow & a+3=5\\\Rightarrow & a=2\end{split}
Dengan demikian,
$f(1)=1^2-2\cdot 1+2=1$
$g(1)=2\cdot 1^2+1-1=2$
$f'(1)=2\cdot 1-2=0$
$g'(1)=2\cdot 2\cdot 1+1=5$
Jadi $h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ dan \begin{split}h'(1) & =f'(1)g(1)+f(1)g'(1)\\& =0\cdot 2+1\cdot 5\\& =5\end{split}
Soal No.60
 |
| Pict from : epsilonpositif.com |
Pembahasan No.60
Karena $AB : AC = 3 : 2$ maka dapat dimisalkan $AB= 3x$ dan $AC = 2x$ .
 |
| Pict from : epsilonpositif.com |
luas ACDE : luas BDE = 5 : 3 maka luas ABC : BDE = 8 :3
\begin{split}& \dfrac{\frac{1}{2}3x \cdot 2x}{\frac{1}{2}EB\cdot t}=\dfrac{8}{3}\\\Rightarrow & \dfrac{3x\cdot 2x}{EB\cdot x}=\dfrac{8}{3}\\\Rightarrow & \dfrac{6x}{EB}=\dfrac{8}{3}\\\Rightarrow & EB=\dfrac{18x}{8}=\dfrac{9}{4}x\end{split}
Dengan demikian panjang $AE=3x-\dfrac{9}{4}x=\dfrac{3}{4}x$ .
Jadi $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{\frac{3}{4}x}{3x}=\dfrac{1}{4}=1:4$
Jika ada yang belum dimengerti dari jawaban diatas, silakan tanyakan melalui kolom komentar dibawah. Untuk yang ingin sharing/diskusi soal SBMPTN ataupun tugas sekolah silakan kirim melalui direct messages (Tombol pesan warna biru di kanan layar).